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$iz^4 + 1 = 0 \Rightarrow z^4 = - \displaystyle \frac{1}{i} = \frac{i^2}{i} = i$

Let $z^4 = \cos  \displaystyle \frac{\pi}{2} + i  \sin  \frac{\pi}{2}$

$\therefore z = \displaystyle \left [ \cos  \frac{\pi}{2} + i  \sin  \frac{\pi}{2} \right ]^{1/4}$

U\sin g De-Moivre's theorem,

$(\cos   \theta + i  \sin  \theta)^n = \cos   n \theta + i  \sin   n \theta, n  \varepsilon I$

Hence, $z = \cos  \displaystyle \frac{\pi}{8} + i  \sin  \frac{\pi}{8}$